一周终过

新工作首周刚完,经过了繁忙紧张漫长的五天,对新环境,新代码,新系统的适应,以及新领域知识的吸收,周末终于来临,可趁机缓冲一下。这周收获相当大,感到对新工作所做的事情已得以大致的了解,足以下周完成更细节式的工作。加上,跟其他人也有一定融合之感。工作之余,比如在坐车时,也稍微想了想,学了学数学,有点增加。

昨晚,我跟那位犹裔美国IMO金牌在脸书上讨论犹太人与中国人在最高智力层次相比的问题,想起有两位我所认识的以基督教传统长大的学习理论科学的美国人所我当时难以思议的东亚人智力上强于犹太人的观点。怎么说那,虽然在这前五十年,日本人和华人在理论科学上做出了的不少伟大的贡献,占有美国好研究大学不少教职,加上我这一代的华人在竞赛中出色的表现,可是还是感觉在科学里的绝顶,犹太人更多,以犹太人更具有一定的高瞻远瞩,可促以颠覆性的跨越,苏联那批犹裔数学大师为典型例子。同时,这个人,作为组合数学为学习及研究方向的高材生,又提醒我犹太人在理论计算机以及匈牙利式组合数学所有的牛耳。他说世界上最聪明的人是亚洲人,他的名字是Terry Tao,可是前一百犹太人综合强于前一百亚洲人的综合。对此,我问他:你了解任何Tao所做的工作吗,可肯定他是世界上最聪明的人?他回:我读过Green-Tao定理的证明。我没啥好说的,只言那还算比较前沿的东西,又跟他说我在对一些华罗庚撰的数论引导,虽引导,可以包含一些我现在认为相当深的数论,如Selberg所做的一些。Tao是个神,可是我也有朋友说:我有事想是否Tao未有过以自己不如von Neumann聪明而心里不安,加上数学那么难,连Tao都差点没有通过博士生资格考试。加上,von Neumann精通数门外语,具有即兴无迟钝翻译之能,以及过目不忘的记忆力,而我都看到过有些中国人在网上以将自己视为”primarily an Australian”的Tao对中国文化一无认同和他对中文一无所知表示反感。我在此博客上前所提到那位犹裔数学博士,念到深到Goro Shimura所做的工作,也觉得Tao有点overrated,觉得他的工作没有例如陈省身所做的深远及原创,说Tao至今还没有创造新的领域。关于犹亚之比,我想到的还有环境的因素,在这一点华人还是比较吃亏,由于经济原因,也由于名字及文化陌生原因,老一辈的华人还在为了自己及国家的生存挣扎,没有那么多经历投入科学研究。或许现在歧视对华人,即使在理论科学界,还是相当严重,虽理论科学少有集体性及宣传及政治因素,与比如生物或软件开发不同,可是人都是有偏见的,这包括评审委员会,如我听到的诺贝尔委员会对苏联科学家的工作的贬值。我这一代,华人在那些完全公平没有任何主观因素的竞赛里已经遥遥胜于犹太人,而那些是最好的对纯粹智力顶级的测试。我有时候想:中国人现在最缺的不是科学技术人才,而是反抗歧视,争取话语权的人才。在外国人眼中,中国人经常有性格被动的刻板印象,的确有这一点,但是好多也是不太客观的媒体所造成的。加上,中国人在美国也是少数,又有语言文化障碍,这又是一个视为寻常的Asian penalty.

数学上,我闻到了在\mathbb{F}_p域下的次数整除n的不可约首一多项式的积等于非常干净的x^{p^n} - x。此多项式很容易看到没有平方因式,用典型的此与此导数非共有因子去证。同时,取任意次数dd | n的不可约首一多项式\phi,则\mathbb{F}_p[x] / (\phi)是个p^d元素的域,则所有元素是x^{p^d} - x的根(x也是此域一元),从此可以得到任意多项式(这包括x)代到x^{p^d} - xx里都在模\phi等于零,也就是说他会是\phi的倍数。因d | nx^{p^d} - x | x^{p^n} - x,则\phi | x^{p^n} - x。不难证明\mathrm{gcd}(x^{p^n} - x, x^{p^d} - x) = x^{p^{\mathrm{gcd}(n, d)}} - x. 若d \nmid n,次数d的多项式若要整除x^{p^n} - x,必整除x^{p^{\mathrm{gcd}(n, d)}} - x,可以用归纳法证明此不可能,在\mathrm{gcd}(n, d)< d的情况下。从此,可以得到x^{p^n} - x没有因子次数非整除n。证闭。